PID的數(shù)學(xué)模型

在工業(yè)應(yīng)用中PID及其衍生算法是應(yīng)用最廣泛的算法之一，是當(dāng)之無(wú)愧的wanneng算法，如果能夠熟練掌握PID算法的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)過(guò)程，對(duì)于一般的研發(fā)人員來(lái)講，應(yīng)該是足夠應(yīng)對(duì)一般研發(fā)問題了，而難能可貴的是，在很多控制算法當(dāng)中，PID控制算法又是最簡(jiǎn)單，最能體現(xiàn)反饋思想的控制算法，可謂經(jīng)典中的經(jīng)典。
經(jīng)典的未必是復(fù)雜的，經(jīng)典的東西常常是簡(jiǎn)單的，是最簡(jiǎn)單的。

PID算法的一般形式

PID算法通過(guò)誤差信號(hào)控制被控量，而控制器本身就是比例、積分、微分三個(gè)環(huán)節(jié)的加和。
這里我們規(guī)定（在t時(shí)刻）：

1.輸入量為

2.輸出量為

3.偏差量為 

PID算法的數(shù)字離散化

假設(shè)采樣間隔為T，則在第K個(gè)T時(shí)刻：

偏差= 

積分環(huán)節(jié)用加和的形式表示，即 

微分環(huán)節(jié)用斜率的形式表示，即

PID算法離散化后的式子： 

則可表示成為： 
其中式中：

比例參數(shù)：控制器的輸出與輸入偏差值成比例關(guān)系。
系統(tǒng)一旦出現(xiàn)偏差，比例調(diào)節(jié)立即產(chǎn)生調(diào)節(jié)作用以減少偏差。

特點(diǎn)：過(guò)程簡(jiǎn)單快速、比例作用大，可以加快調(diào)節(jié)，減小誤差；使系統(tǒng)穩(wěn)定性下降，造成不穩(wěn)定，有余差。

積分參數(shù)：積分環(huán)節(jié)主要是用來(lái)消除靜差，所謂靜差，就是系統(tǒng)穩(wěn)定后輸出值和設(shè)定值之間的差值，積分環(huán)節(jié)實(shí)際上就是偏差累計(jì)的過(guò)程，把累計(jì)的誤差加到原有系統(tǒng)上以抵消系統(tǒng)造成的靜差。

微分參數(shù)：微分信號(hào)則反應(yīng)了偏差信號(hào)的變化規(guī)律，或者說(shuō)是變化趨勢(shì)，根據(jù)偏差信號(hào)的變化趨勢(shì)來(lái)進(jìn)行超前調(diào)節(jié)，從而增加了系統(tǒng)的快速性。

PID的基本離散表示形式如上。
目前的這種表述形式屬于位置型PID，一種表述方式為增量式PID，由上述表達(dá)式可以輕易得到：

那么：

上式就是離散化PID的增量式表示方式，由公式可以看出，增量式的表達(dá)結(jié)果和最近三次的偏差有關(guān)，這樣就大大提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。
需要注意的是最終的輸出結(jié)果應(yīng)該為：輸出量 = + 增量調(diào)節(jié)值。